Résoudre un système avec la méthode LU - Corrigé

Énoncé

Dans cet exercice, on voudrait résoudre le système  \((S)\begin{cases}-x+2y+3z+4t=10\\-2x+6y+7z+6t=20\\-x+6y+6z+t=50\\-3x+8y+11z+12t=100\end{cases}\)
On considère les matrices  \(A=\begin{pmatrix}-1&2&3&4\\-2&6&7&6\\-1&6&6&1\\-3&8&11&12\end{pmatrix}\)  et  \(B=\begin{pmatrix}10\\20\\50\\100\end{pmatrix}\) .

1. On considère les matrices  \(L=\begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 2&1&0&0\\1&2&1&0\\3&1&1&1 \end{pmatrix}\) et \(U=\begin{pmatrix} -1&2&3&4\\ 0&2&1&-2\\0&0&1&1\\0&0&0&1 \end{pmatrix}\) .
Vérifier que  \(A=LU\) .

2. Résoudre le système  \(LY=B\)  d'inconnue  \(Y\) .

3. Résoudre le système  \(UX=Y\) .

4. Expliquer pourquoi on a résolu le système  \((S)\)

Solution  

1. Il suffit d'effectuer la multiplication  \(A=LU\) .

2. On trouve  \(Y=\begin{pmatrix}10\\0\\40\\30\end{pmatrix}\)

3. On trouve  \(X=\begin{pmatrix}190\\25\\10\\30\end{pmatrix}\)

4. Le système s'écrit sous forme matricielle  \(AX=B\)  donc, d'après la question 1,  \(LUX=B\) .
Or, à la question 2, on a résolu  \(LY=B\)  donc, nécessairement,  \(UX=Y\) , donc la question 3 nous a donné la seule valeur possible pour  \(X\) .
Réciproquement, on a  \(UX=Y\)  est bien solution de  \(LY=B\) , donc on a bien  \(AX=B\) .